题目
题型:月考题难度:来源:
(Ⅰ)写出y关于r的函数表达式,并求该函数的定义域;
(Ⅱ)求该容器的建造费用最小时的r.
答案
∴y=2πrl×3+4πr2×c=6πr×+4cπr2=2π·,
又l≥2r,即≥2r,解得0<r≤2
∴其定义域为(0,2].
(2)由(1)得,y′=8π(c﹣2)r﹣=,0<r≤2
由于c>3,所以c﹣2>0
当r3﹣=0时,则r=
令=m,(m>0)
所以y′=
①当0<m<2即c>时,当r=m时,y′=0
当r∈(0,m)时,y′<0
当r∈(m,2)时,y′>0
所以r=m是函数y的极小值点,也是最小值点.
②当m≥2即3<c≤时,当r∈(0,2)时,y′<0,函数单调递减.
所以r=2是函数y的最小值点.
综上所述,当3<c≤时,建造费用最小时r=2;
当c>时,建造费用最小时r=
核心考点
试题【某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位:米),其中容器的中间为圆柱形,左右两端均为半球形,按照设计要求容器的体积为立方米,且l≥2r.假设该容器的建造费】;主要考察你对函数极值与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求g(x)的单调区间和最小值;
(2)讨论g(x)与的大小关系;
(3)是否存在x0>0,使得对任意x>0成立?若存在,求出x0的取值范围;若不存在,请说明理由.
(1)若y=f(x)在x=﹣2时有极值,求f(x)的解析式;
(2)在(1)的条件下是否存在实数m,使得不等式f(x)≥m在区间[﹣2,1]上恒成立,若存在,试求出m的最大值,若不存在,试说明理由.
(1)用a和n表示f(n);
(2)求对所有n都有成立的a的最小值;
(3)当0<a<1时,比较与的大小,并说明理由
已知f(x)=ax﹣1nx,x∈(0,e],g(x)=,其中e是自然常数,a∈R.
(Ⅰ)当a=1时,研究f(x)的单调性与极值;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,求证:f(x)>g(x)+;
(Ⅲ)是否存在实数a,使f(x)的最小值是3?若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.
(1)试将y表示为x的函数;
(2)若a=1,且x=6时,y取得最小值,试求b的值.
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