题目
题型:期末题难度:来源:
已知函数f(x)=ln (ax+1)+,其中a>0.
(1)若f(x)在x=1处取得极值,求a的值;
(2)若f(x)的最小值为1,求a的取值范围.
答案
求导函数可得f′(x)= ,
∵f(x)在x=1处取得极值,
∴f"(1)=0,∴ =0 ∴a=1;
(2)设f′(x)= >0,有ax2>2﹣a,
若a≥2,则f"(x)>0恒成立,f(x)在[0,+∞)上递增,
∴f(x)的最小值为f(0)=1;
若0<a<2,则x> ,f"(x)>0恒成立,
f(x)在( ,+∞)上递增,在(﹣∞, )上递减,
∴f(x)在x= 处取得最小值f( )<f(0)=1.
综上知,若f(x)最小值为1,则a的取值范围是[2,+∞).
核心考点
试题【附加题已知函数f(x)=ln (ax+1)+,其中a>0.(1)若f(x)在x=1处取得极值,求a的值;(2)若f(x)的最小值为1,求a的取值范围.】;主要考察你对函数极值与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求实数a的值;
(2)若k∈Z,且对任意x>1恒成立,求k的最大值;
(3)当n>m≥4时,证明(mnn)m>(nmm)n.
(1)函数f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线与g(x)的图象相切,求实数b的值;
(2)设h(x)=f(x)+g(x),若函数h(x)在定义域上存在单调减区间,求实数b 的取值范围;
(3)若b>1,对于区间[1,2]上的任意两个不相等的实数x1,x2,都有|f(x1)﹣f(x2)|>|g(x1)﹣g(x2)|成立,求b的取值范围.
(Ⅰ)当a=1时,研究f(x)的单调性与极值;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,求证:f(x)>g(x)+;
(Ⅲ)是否存在实数a,使f(x)的最小值是3?若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.
(1)求导数f"(x).
(2)若f"(﹣1)=0,求f(x)在[﹣2,2]上的最大值和最小值.
(3)若f(x)在(﹣∞,﹣2)和[2,+∞]上都是递增的,求a的取值范围.
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