题目
题型:江苏省月考题难度:来源:
(Ⅰ)当a=1时,研究f(x)的单调性与极值;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,求证:f(x)>g(x)+;
(Ⅲ)是否存在实数a,使f(x)的最小值是3?若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.
答案
∴当0<x<1时,f′(x)<0,此时f(x)单调递减
当1<x<e时,f′(x)>0,此时f(x)单调递增
∴f(x)的极小值为f(1)=1
(Ⅱ)证明:∵f(x)的极小值为1,即f(x)在(0,e]上的最小值为1,
∴f(x)>0,f(x)min=1
令h(x)=g(x))+ = + , ,
当0<x<e时,h′(x)>0,h(x)在(0,e]上单调递增
∴h(x)max=h(e)= < =1=|f(x)|min
∴在(1)的条件下,f(x)>g(x)+ ;
(Ⅲ)解:假设存在实数a,使f(x)的最小值是3,f′(x)=
①当a≤0时,x∈(0,e],所以f′(x)<0,
所以f(x)在(0,e]上单调递减,f(x)min=f(e)=ae﹣1=3,
∴a= (舍去),所以,此时f(x)无最小值.
②当0< <e时,f(x)在(0, )上单调递减,在( ,e]上单调递增,
f(x)min=f( )=1+lna=3,∴a=e2,满足条件.
③当 时,x∈(0,e],所以f′(x)<0,所以f(x)在(0,e]上单调递减,
f(x)min=f(e)=ae﹣1=3,∴a= (舍去),所以,此时f(x)无最小值.
综上,存在实数a=e2,使f(x)的最小值是3.
核心考点
试题【已知f(x)=ax﹣1nx,x∈(0,e],g(x)=,其中e是自然常数,a∈R.(Ⅰ)当a=1时,研究f(x)的单调性与极值;(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,求证:f】;主要考察你对函数极值与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求导数f"(x).
(2)若f"(﹣1)=0,求f(x)在[﹣2,2]上的最大值和最小值.
(3)若f(x)在(﹣∞,﹣2)和[2,+∞]上都是递增的,求a的取值范围.
(1)写出函数V(x)的解析式,并求出函数的定义域;
(2)求当x为多少时,容器的容积最大?并求出最大容积.
(1)设函数F(x)=2g(x)﹣f(x),求F(x)的极小值.
(2)设函数F(x)=ag(x)﹣f(x),(a>0),若F(x)>0恒成立,求实数a的取值范围.
(3)若>x2>0,总有m[g()﹣g(x2)]>f()﹣x2f(x2)成立,求实数m的取值范围.
(1)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处有公共切线,求a,b的值;
(2)当a=3,b=-9时,函数f(x)+g(x)在区间[k,2]上的最大值为28,求k的取值范围。
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