题目

题型：期末题难度：来源：

把边长为6的等边三角形铁皮剪去三个相同的四边形（如图阴影部分）后，用剩余部分做成一个无盖的正三棱柱形容器（不计接缝），设容器的高为x，容积为V（x）．
（1）写出函数V（x）的解析式，并求出函数的定义域；
（2）求当x为多少时，容器的容积最大？并求出最大容积．

答案

解：（1）因为容器的高为x，则做成的正三棱柱形容器的底边长为
则
函数的定义域为
（2）实际问题归结为求函数V（x）在区间上的最大值点．
先求V（x）的极值点．
在开区间内，
令V"（x）=0，即令，解得．
因为在区间内，可能是极值点．
当0＜x＜时，V"（x）＞0；
当时，V"（x）＜0
因此是极大值点，且在区间内，是唯一的极值点，
所以是V（x）的最大值点，并且最大值
即当正三棱柱形容器高为时，容器的容积最大为4．