题目

题型：高考真题难度：来源：

已知函数，其中a≠0。
（1）若对一切x ∈R ，≥1恒成立，求a的取值集合。
（2）在函数的图像上取定两点，，记直线AB的斜率为K，问：是否存在x₀∈（x₁，x₂），使成立？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由。

答案

解：（1）若，则对一切，，这与题设矛盾，
又，故
而
令
当时，单调递减；
当时，单调递增，
故当时，取最小值
于是对一切恒成立，
当且仅当①
令
则
当时，单调递增；
当时，单调递减
故当时，取最大值
因此，当且仅当即时，①式成立
综上所述，a的取值集合为。
（2）由题意知，
令
则
令，则
当时，单调递减；
当时，单调递增
故当，
即从而，
又
所以
因为函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，
所以存在使单调递增，
故这样的是唯一的，且
故当且仅当时，
综上所述，存在使成立
且的取值范围为。