题目

题型：湖南省月考题难度：来源：

已知函数f（x）=lnx﹣，g（x）=f（x）+ax﹣6lnx，其中a∈R．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若g（x）在其定义域内为增函数，求正实数a的取值范围；
（3）设函数h（x）=x²﹣mx+4，当a=2时，若∈（0，1），x₂∈[1，2]，总有g（）≥h（x₂）成立，求实数m的取值范围．

答案

解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），且，
①当a≥0时，f"（x）＞0，f（x）在（x，+∞）上单调递增；
②当a＞0时，由f"（x）＞0，得x＞﹣a；由f"（x）＜0，得x＜﹣a；
故f（x）在（0，﹣a）上单调递减，在（﹣a，+∞）上单调递增．
（2）g（x）=ax﹣，g（x）的定义域为（0，+∞），
﹣=，
因为g（x）在其定义域内为增函数，所以x∈（0，+∞），g"（x）≥0，
∴ax²﹣5x+a≥0，
∴a（x²+1）≥5x，即，
∴．
∵，当且仅当x=1时取等号，
所以a．
（3）当a=2时，g（x）=2x﹣，，
由g"（x）=0，得x=或x=2．
当时，g"（x）≥0；
当x时，g"（x）＜0．
所以在（0，1）上，，
而“∈（0，1），x₂∈[1，2]，总有g（）≥h（x₂）成立”等价于“g（x）在
（0，1）上的最大值不小于h（x）在[1，2]上的最大值”
而h（x）在[1，2]上的最大值为max{h（1），h（2）}，
所以有，
∴，
∴，
解得m≥8﹣5ln2，
所以实数m的取值范围是[8﹣5ln2，+∞）．