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题目

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为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=

（0≤x≤10），若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
（Ⅰ）求k的值及f（x）的表达式．
（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求最小值．

答案

解：（Ⅰ）设隔热层厚度为xcm，由题设，每年能源消耗费用为

．
再由C（0）=8，得k=40，
因此

．
而建造费用为C₁（x）=6x，最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为

（Ⅱ）

，
令f"（x）=0，即

．
解得x=5，

（舍去）．
当0＜x＜5时，f "（x）＜0，
当5＜x＜10时，f "（x）＞0，
故x=5是f（x）的最小值点，对应的最小值为

．
当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小值为70万元．

核心考点

试题【为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能】；主要考察你对函数极值与最值等知识点的理解。[详细]

举一反三

设m、t为实数，函数

，f（x）的图象在点M（0，f（0））处的切线的斜率为1．
（1）求实数m的值；
（2）若对于任意x∈[﹣1，2]，总存在t，使得不等式f（x）≤2t成立，求实数t的取值范围；设方程x²+2tx﹣1=0的两个实数根为a，b（a＜b），若对于任意x∈[a，b]，总存在x₁、x₂∈[a，b]，使得f（x₁）≤f（x）≤f（x₂）恒成立，记g（t）=f（x₂）﹣f（x₁），当

时，求实数t的值．

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设函数f（x）=lnx+ln（2﹣x）+ax（a＞0）．
（1）当a=1时，求f（x）的单调区间．
（2）若f（x）在（0，1]上的最大值为

，求a的值．

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已知f（x）=xlnx，g（x）=﹣x²+ax﹣3．
（1）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（2）对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；
（3）证明：对一切x∈（0，+∞），都有

成立．

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已知函数

（a＞0）．
（I）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；
（II）若不等式

对x∈R恒成立，求a的取值范围．

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设f（x）是定义在R上的奇函数，g（x）与f（x）的图象关于直线x=1对称，若g（x）=a（x﹣2）﹣（x﹣2）³．
（1）求f（x）的解析式；
（2）当x=1时，f（x）取得极值，证明：对任意x₁，x_2^∈（﹣1，1），不等式|f（x₁）﹣f（
x₂）|＜4恒成立；
（3）若f（x）是[1，+∞）上的单调函数，且当x₀≥1，f（x₀）≤1时，有f[f（x₀）]=x₀，求证：
f（x₀）=x₀．

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