题目

题型：辽宁省期中题难度：来源：

已知函数，其中.
（1）是否存在实数，使得在处取极值？证明你的结论；
（2）若在[-1,]上是增函数，求实数的取值范围.

答案

解：（1）f "(x) = ax² - ax + 1  
假设存在实数a，使f (x)在x =处取极值，
则f "() = -+ 1 = 0，
∴a = 4  
此时，f "(x) =
当x <时，f "(x) > 0；
当<x<1时，f "(x) > 0.
∴x =不是f (x)的极值点，
故不存在实数a，使f (x)在x =处极值   
（2）依题意知：当x∈[-1,]时，f "(x) = ax² - ax + 1≥0恒成立，
当a = 0时，f "(x) = 1>0成立；
当a>0时，f "(x) = a (x)² + 1在上递减，
则g (x)_min = g () = 1≥0  
∴0<a≤4        
当a<0时，f "(x) = a (x)² + 1在上递增，
则 g (x)_min = g (-1) = 2a + 1≥0  
∴0>a≥  
综上，≤a≤4为所求