题目
题型:不详难度:来源:
(Ⅰ)求曲线f(x)在点(x0,x0ex0)处的切线方程
(Ⅱ)如果过点(a,b)可作曲线y=f(x)的三条切线
(1)当-2<a<0时,证明:-
1 |
e2 |
(2)当a<-2时,写出b的取值范围(不需要书写推证过程).
答案
∴f′(x)=(x+1)ex,
∴曲线f(x)在点(x0,x0ex0)处的切线的斜率k=f′(x0)=(x0+1)ex0,
由点斜式写出切线方程为y-x0ex0=(x0+1)ex0(x-x0),即y=(x0+1)ex0x-x02ex0.
(Ⅱ)(1)如果切线过点(a,b),则存在x0,使b=(x0+1)ex0a-x02ex0.
于是,若过点(a,b)可作曲线y=f(x)的三条切线,则方程(x02-ax0-a)ex0+b=0有三个相异的实数根.
记g(x0)=(x02-ax0-a)ex0+b,则g"(x0)=[x02+(2-a)x0-2a]ex0,
令g"(x0)=0,解得x0=-2,或x0=a∈(-2,0)
当x0∈(-∞,-2),(a,+∞)时g"(x0)>0,
当x0∈(-2,a)时g"(x0)<0,
∴当x0=-2时,g(x0)取极大值,当x0=a时,g(x0)取极小值,
如果过(a,b)可作曲线y=f(x)三条切线,即g(x0)=0有三个相异的实数根,则
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即
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即-
1 |
e2 |
(2)令g"(x0)=0,解得x0=-2,或x0=a∈(-∞,-2)
当x0∈(-∞,a),(-2,+∞)时g"(x0)>0,
当x0∈(a,-2)时g"(x0)<0,
∴当x0=a时,g(x0)取极大值,当x0=-2时,g(x0)取极小值,
如果过(a,b)可作曲线y=f(x)三条切线,即g(x0)=0有三个相异的实数根,则
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即f(a)<b<-
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e2 |
核心考点
试题【已知函数f(x)=xex,其中x∈R.(Ⅰ)求曲线f(x)在点(x0,x0ex0)处的切线方程(Ⅱ)如果过点(a,b)可作曲线y=f(x)的三条切线(1)当-2】;主要考察你对函数极值与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
1-x |
ax |
(Ⅰ)若函数f(x)在[1,+∞)上是增函数,求正实数a的取值范围;
(Ⅱ)若a=1,k∈R且k<
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e |
1 |
e |
(1)求函数f(x)在[1,e]上的最大值和最小值;
(2)求证:当x∈(1,+∞)时,函数f(x)的图象在g(x)=
2 |
3 |
1 |
2 |
(Ⅰ)若曲线y=f(x)在点(2,f(2))处与直线y=8相切,求a,b的值;
(Ⅱ)求函数f(x)的单调区间与极值点.
1 |
128000 |
3 |
80 |
(1)当x=64千米/小时时,要行驶100千米耗油量多少升?
(2)若油箱有22.5升油,则该型号汽车最多行驶多少千米?
1 |
2 |
(1)若x=3是函数f(x)的极值点,求a的值;
(2)求f(x)的单调区间;
(3)若f(x)在[0,+∞)上的最大值是0,求a的取值范围.
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