题目

题型：不详难度：来源：

设函数f（x）=x³-3ax+b（a≠0）．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（2，f（2））处与直线y=8相切，求a，b的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间与极值点．

答案

（Ⅰ）f′（x）=3x²-3a，
∵曲线y=f（x）在点（2，f（2））处与直线y=8相切，
∴

f′(2)=0 f(2)=8

⇒

3(4-a)=0 8-6a+b=8

⇒

a=4 b=24.

（Ⅱ）∵f′（x）=3（x²-a）（a≠0），
当a＜0时，f′（x）＞0，函数f（x）在（-∞，+∞）上单调递增，此时函数f（x）没有极值点．
当a＞0时，由f′(x)=0⇒x=±

a

，
当x∈(-∞，-

a

)时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，
当x∈(-

a

，

a

)时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，
当x∈(

a

，+∞)时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，
∴此时x=-

a

是f（x）的极大值点，x=

a

是f（x）的极小值点．