题目
题型:不详难度:来源:
(Ⅰ)当a=1时,求函数f(x)的单调增区间;
(Ⅱ)求函数f(x)在区间[1,e]上的最小值;
(Ⅲ)设g(x)=(1-a)x,若存在x0∈[
1 |
e |
答案
(I)将a=1代入f(x)得f(x)=)=x2-3x+lnx
所以f′(x)=2x-3+
1 |
x |
2x2-3x+1 |
x |
令f′(x)>0得0<x<
1 |
2 |
所以函数的单调增区间(0,
1 |
2 |
(II)f′(x)=2x-(2a+1)+
a |
x |
2x2-(2a+1)x+a |
x |
令f′(x)=0得x=
1 |
2 |
当a≤1时,在区间[1,e]上,f′(x)>0
f(x)在区间[1,e]上的单调递增
所以[f(x)]min=f(1)=-2a;
当1<a<e时,f(x)在[1,a]单调递减,在[a,e]上单调递增
所以[f(x)]min=f(a)=-a2-a+alna;
当a≥e时,f(x)在[1,e]上单调递减
所以[f(x)]min=f(e)=e2-2ae-e+a.
(III)令x2-(a+2)x+alnx≥0在[
1 |
e |
即x2-2x≥a(x-lnx),由于x-lnx在[
1 |
e |
∴问题转化为a≤
x2-2x |
x-lnx |
1 |
e |
令h(x)=
x2-2x |
x-lnx |
1 |
e |
由于当x<2时,h(x)为负,下研究h(x)在(2,e)上的单调性,
由于h′(x)=
(x-1)(x+2-2lnx) |
(x-lnx)2 |
x2-2x |
x-lnx |
e2-2e |
e-1 |
所以h(x)max=
e2-2e |
e-1 |
故实数a的取值范围为a≤
e2-2e |
e-1 |
核心考点
试题【已知函数f(x)=x2-(2a+1)x+alnx.(Ⅰ)当a=1时,求函数f(x)的单调增区间;(Ⅱ)求函数f(x)在区间[1,e]上的最小值;(Ⅲ)设g(x)】;主要考察你对函数极值与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)若直线l是曲线y=f(x)的切线,求证:f(x)≥kx+b对任意x∈R成立;
(2)若f(x)≥kx+b对任意x∈R成立,求实数k、b应满足的条件.
(1)若a=-2,求证:函数f(x)在(1,+∞)上是增函数;
(2)求函数f(x)在[1,e]上的最小值及相应的x值;
(3)若存在x∈[1,e],使得f(x)≤(a+2)x成立,求实数a的取值范围.
求:(Ⅰ)a的值;
(Ⅱ)f(x)在区间[-1,3]上的最大值和最小值.
(1)若函数f(x)在区间(0,1]上恒为单调函数,求实数a的取值范围;
(2)当t≥1时,不等式f(2t-1)≥2f(t)-3恒成立,求实数a的取值范围.
A.
| B.2 | C.2
| D.8 |
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