题目
题型:不详难度:来源:
(1)若a=-2,求证:函数f(x)在(1,+∞)上是增函数;
(2)求函数f(x)在[1,e]上的最小值及相应的x值;
(3)若存在x∈[1,e],使得f(x)≤(a+2)x成立,求实数a的取值范围.
答案
2(x2-1) |
x |
(2)f′(x)=
2x2+a |
x |
若a≥-2,f"(x)在[1,e]上非负(仅当a=-2,x=1时,f"(x)=0),故函数f(x)在[1,e]上是增函数,此时[f(x)]min=f(1)=1.
若-2e2<a<-2,当x=
|
当1≤x<
|
当
|
故[f(x)]min=f(
|
a |
2 |
a |
2 |
a |
2 |
若a≤-2e2,f"(x)在[1,e]上非正(仅当a=-2e2,x=e时,f"(x)=0),
故函数f(x)在[1,e]上是减函数,此时[f(x)]min=f(e)=a+e2.
综上可知,当a≥-2时,f(x)的最小值为1,相应的x值为1;当-2e2<a<-2时,f(x)
的最小值为
a |
2 |
a |
2 |
a |
2 |
|
相应的x值为e.
(3)不等式f(x)≤(a+2)x,可化为a(x-lnx)≥x2-2x.
∵x∈[1,e],∴lnx≤1≤x且等号不能同时取,所以lnx<x,即x-lnx>0,
因而a≥
x2-2x |
x-lnx |
令g(x)=
x2-2x |
x-lnx |
(x-1)(x+2-2lnx) |
(x-lnx)2 |
当x∈[1,e]时,x-1≥0,lnx≤1,x+2-2lnx>0,
从而g"(x)≥0(仅当x=1时取等号),所以g(x)在[1,e]上为增函数,
故g(x)的最小值为g(1)=-1,所以a的取值范围是[-1,+∞).
核心考点
试题【已知函数f(x)=alnx+x2(a为实常数).(1)若a=-2,求证:函数f(x)在(1,+∞)上是增函数;(2)求函数f(x)在[1,e]上的最小值及相应的】;主要考察你对函数极值与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
求:(Ⅰ)a的值;
(Ⅱ)f(x)在区间[-1,3]上的最大值和最小值.
(1)若函数f(x)在区间(0,1]上恒为单调函数,求实数a的取值范围;
(2)当t≥1时,不等式f(2t-1)≥2f(t)-3恒成立,求实数a的取值范围.
A.
| B.2 | C.2
| D.8 |
p |
x |
(Ⅰ)若p=2,求曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(Ⅱ)若函数f(x)在其定义域内为增函数,求正实数p的取值范围;
(Ⅲ)设函数g(x)=
2e |
x |
1 |
3 |
1 |
2 |
9 |
2 |
(1)当a=3时,求f(x)的单调递增区间;
(II)求证:曲线y=f(x)总有斜率为a的切线;
(III)若存在x∈[-1,2],使f(x)<0成立,求a的取值范围.
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