题目
题型:不详难度:来源:
(1)若直线l是曲线y=f(x)的切线,求证:f(x)≥kx+b对任意x∈R成立;
(2)若f(x)≥kx+b对任意x∈R成立,求实数k、b应满足的条件.
答案
记切点为T(t,et),
∴切线l的方程为y-et=et(x-t)
即y=etx+et(1-t)(3分)
∴
|
记函数F(x)=f(x)-kx-b,
∴F(x)=ex-etx-et(1-t)
∴F"(x)=ex-et
∴F(x)在x∈(-∞,t)上为减,在x∈(t,+∞)为增
故Fmin(x)=F(t)=et-ett-et(1-t)=0
故F(x)=f(x)-kx-b≥0
即f(x)≥kx+b对任意x∈R成立(7分)
(2)∵f(x)≥kx+b对任意x∈R成立,
即ex≥kx+b对任意x∈R成立
①当k<0时,取x0=
|b|+1 |
k |
∴ex0<e0=1,而kx0+b=|b|+1+b≥1
∴ex1<kx1+b,
∴k<0不合题意.
②当k=0时,若b≤0,则ex≥kx+b对任意x∈R成立
若b>0取x1=ln
b |
2 |
∴ex1=
b |
2 |
∴ex0<kx0+b,
∴k=0且b>0不合题意,
故k=0且b≤0不合题意(10分)
③当k>0时,
令G(x)=ex-kx-b,G"(x)=ex-k,由G"(x)=0,得x=lnk,
所以G(x)在(-∞,lnk)上单减,(lnk,+∞)单增
故G(x)≥G(lnk)=k-klnk-b≥0
∴
|
综上所述:满足题意的条件是
|
|
核心考点
试题【已知函数f(x)=ex,直线l的方程为y=kx+b.(1)若直线l是曲线y=f(x)的切线,求证:f(x)≥kx+b对任意x∈R成立;(2)若f(x)≥kx+b】;主要考察你对函数极值与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)若a=-2,求证:函数f(x)在(1,+∞)上是增函数;
(2)求函数f(x)在[1,e]上的最小值及相应的x值;
(3)若存在x∈[1,e],使得f(x)≤(a+2)x成立,求实数a的取值范围.
求:(Ⅰ)a的值;
(Ⅱ)f(x)在区间[-1,3]上的最大值和最小值.
(1)若函数f(x)在区间(0,1]上恒为单调函数,求实数a的取值范围;
(2)当t≥1时,不等式f(2t-1)≥2f(t)-3恒成立,求实数a的取值范围.
A.
| B.2 | C.2
| D.8 |
p |
x |
(Ⅰ)若p=2,求曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(Ⅱ)若函数f(x)在其定义域内为增函数,求正实数p的取值范围;
(Ⅲ)设函数g(x)=
2e |
x |
最新试题
- 12011年10月18日第四届“汉语桥”世界中学生中文比赛决赛在重庆拉开帷幕。比赛4届以来,已吸引了40多个国家的近万名大
- 2用所给代词的适当形式填空。1. _____ is Chinese. (his) 2. This is Mark. ___
- 3No one can imagine the difficulty he had ______ playing comp
- 4我国最东端附近的学生早晨8点上课时,若按世界标准时区计算,最西端附近的时间大是约[ ]A.3点钟
- 5命题“对任意x∈R,|x-2|+|x-4|>3”的否定是 .
- 6计算:
- 7下列连线题不正确的是
- 8中华民族是一个具有强大凝聚力和自强不息精神的伟大民族。(1)中国近代史是一部充满屈辱和灾难的历史。请列举近代史上给中华民
- 9直角三角形中,其中一个锐角为40°,则另一个锐角的度数为_________.
- 10One of the best-known American writers of children’s books i
热门考点
- 1完形填空。 Every summer a great many students travel to other
- 2某市电力公司在电力供大于求时期为了鼓励居民用电,采用分段计费方法计算电费,每月用电不超过100度时,按每度0.57元计费
- 3【题文】已知函数 ,则的值是A.B.C.D.
- 4一种充电电池放电时的电极反应为:H2+2OH--2e-=2H2O NiO(OH)+H2O+e-=Ni(OH)2+OH
- 5方程xx+1=2的根是______.
- 6开红花的豌豆和开白花的豌豆杂交,被遗传下去的是( )A.红色或白色B.控制红花的基因C.控制白花的基因D.控制红花的基
- 7【题文】若集合,,那么( )A.B.C.D.
- 8如图,图中的线段AB长为1,那么图中的多边形(阴影部分)的周长、面积分别为( )A.62、31B.64、32C.62、
- 9有关鲁尔区经济衰落原因的叙述不正确的是 ( )A.石
- 10以直角三角板的一直角边为轴,旋转一周所得到的图形是______.