题目
题型:不详难度:来源:
(1)若函数f(x)在区间(0,1]上恒为单调函数,求实数a的取值范围;
(2)当t≥1时,不等式f(2t-1)≥2f(t)-3恒成立,求实数a的取值范围.
答案
a |
x |
要使f(x)在(0,1]上恒为单调函数,只需f′(x)≥0或f′(x)≤0在(0,1]上恒成立.
∴只需a≥-(2x2+2x),或a≤-(2x2+2x)在(0,1]上恒成立.
记g(x)=-(2x2+2x),
∵0<x≤1,
∴-4≤g(x)<0,
∴a≤-4,或a≥0.(5分)
(2)∵f(x)=x2+2x+a•lnx,
∴由f(2t-1)≥2f(t)-3,得
(2t-1)2+2(2t-1)+a•ln(2t-1)≥2(t2+2t+alnt)-3,
化简得2(t-1)2≥a•ln
t2 |
2t-1 |
∵t>1时有t2>2t-1>0,即
t2 |
2t-1 |
则ln
t2 |
2t-1 |
2(t-1)2 | ||
ln
|
构造函数h(x)=ln(x+1)-x,x>-1,则h′(x)=
1 |
1+x |
x |
1+x |
∴h(x)在x=0处取得极大值,也是最大值.
∴h(x)≤h(0)在x>-1范围内恒成立,而h(0)=0,
从而ln(1+x)≤x在x>-1范围内恒成立.
∴在t>1时,ln
t2 |
2t-1 |
(t-1)2 |
2t-1 |
(t-1)2 |
2t-1 |
而t=1时,ln
t2 |
2t-1 |
∴当t≥1时,ln
t2 |
2t-1 |
即t≥1时,总有
2(t-1)2 | ||
ln
|
由式①和式②可知,实数a的取值范围是a≤2.(12分)
核心考点
试题【已知函数f(x)=x2+2x+a•lnx.(1)若函数f(x)在区间(0,1]上恒为单调函数,求实数a的取值范围;(2)当t≥1时,不等式f(2t-1)≥2f(】;主要考察你对函数极值与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
A.
| B.2 | C.2
| D.8 |
p |
x |
(Ⅰ)若p=2,求曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(Ⅱ)若函数f(x)在其定义域内为增函数,求正实数p的取值范围;
(Ⅲ)设函数g(x)=
2e |
x |
1 |
3 |
1 |
2 |
9 |
2 |
(1)当a=3时,求f(x)的单调递增区间;
(II)求证:曲线y=f(x)总有斜率为a的切线;
(III)若存在x∈[-1,2],使f(x)<0成立,求a的取值范围.
(1)求a,b,c的值;
(2)若x∈[-1,1],求f(x)的最大值和最小值.
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