某化工企业生产某种产品，生产每件产品的成本为3元，根据市场调查，预计每件产品的出厂价为x元（7≤x≤10）时，一年的产量为（11-x）2万件；若该企业所生产的产 - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：不详难度：来源：

某化工企业生产某种产品，生产每件产品的成本为3元，根据市场调查，预计每件产品的出厂价为x元（7≤x≤10）时，一年的产量为（11-x）²万件；若该企业所生产的产品能全部销售，则称该企业正常生产；但为了保护环境，用于污染治理的费用与产量成正比，比例系数为常数a（1≤a≤3）．
（Ⅰ）求该企业正常生产一年的利润L（x）与出厂价x的函数关系式；
（Ⅱ）当每件产品的出厂价定为多少元时，企业一年的利润最大，并求最大利润．

答案

（Ⅰ）依题意，L（x）=（x-3）（11-x）²-a（11-x）²
=（x-3-a）（11-x）²，x∈[7，10]．
（Ⅱ）∵L′（x）=（11-x）²-2（x-3-a）（11-x）=（11-x）（11-x-2x+6+2a）
=（11-x ）（17+2a-3x）．
由L′（x）=0，得x=11∉[7，10]或x=

17+2a

．
∵1≤a≤3，∴

≤

17+2a

≤

．
在x=

17+2a

的两侧L′（x）由正变负，
故①当

≤

17+2a

≤7，即1≤a≤2时，L′（x）在[7，10]上恒为负，
∴L（x）在[7，10]上为减函数．
∴[L（x）]_max=L（7）=16（4-a）．
②当7＜

17+2a

≤

，即2＜a≤3时，[L（x）]_max=L（

17+2a

）=

（8-a）³，
故1≤a≤2时，则当每件产品出厂价为7元时，年利润最大，为16（4-a）万元．当2＜a≤3时，则每件产品出厂价为

17+2a

元时，年利润最大，为

（8-a）³万元．

核心考点

试题【某化工企业生产某种产品，生产每件产品的成本为3元，根据市场调查，预计每件产品的出厂价为x元（7≤x≤10）时，一年的产量为（11-x）2万件；若该企业所生产的产】；主要考察你对函数极值与最值等知识点的理解。[详细]

举一反三

已知函数f（x）=ax³-3x+1对x∈（0，1]总有f（x）≥0成立．则实数a的取值范围是______．

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已知函数f（x）=alnx-ax-3（a∈R），
（1）若函数y=f（x）在点（2，f（2））处的切线斜率为1，求a的值；
（2）在（1）的条件下，对任意t∈[1，2]，函数g（x）=x³+x²[

+f′（x）]在区间（t，3）总存在极值，求m的取值范围；
（3）若a=2，对于函数h（x）=（p-2）x-

p+2e

-3在[1，e]上至少存在一个x₀使得h（x₀）＞f（x₀）成立，求实数P的取值范围．

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有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的两侧，乙厂位于离河岸40km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50km，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为3a元和5a元，问供水站C建在何处才能使水管费用最省？

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已知函数f（x）=（x+1）lnx-x+1．
（Ⅰ）若xf′（x）≤x²+ax+1，求a的取值范围；
（Ⅱ）证明：（x-1）f（x）≥0．

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已知函数f（x）=e^x-ax，其中a＞0．
（1）若对一切x∈R，f（x）≥1恒成立，求a的取值集合；
（2）在函数f（x）的图象上取定点A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））（x₁＜x₂），记直线AB的斜率为K，证明：存在x₀∈（x₁，x₂），使f′（x₀）=K恒成立．

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