题目

题型：山东省期末题难度：来源：

已知函数f（x）=x^3-3ax²-3a²+a（a＞0）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若曲线y=f（x）上有两点A（m，f（m））、B（n，f（n））处的切线都与y轴垂直，且函数y=f（x）在区间[m，n]上存在零点，求实数a的取值范围．

答案

解：（1）f′（x）=3x²﹣6ax=3x（x﹣2a）．
令f′（x）=0，得x₁=0，x₂=2a
列表如下：

由上表可知，函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，0），（2a，+∞）；
单调递减区间为（0，2a）．
（2）由（1）可知，m=0，n=2a且在x=0，x=2a处分别取得极值．
f（0）=﹣3a²+a，f（2a）=﹣4a³﹣3a²+a．
由已知得函数y=f（x）在区间[0，2a]上存在零点，
∴f（0）×f（2a）≤0即（﹣3a²+a）（﹣4a³﹣3a²+a）≤0
∴a²（3a﹣1）（4a﹣1）（a+1）≤0
∵a＞0
∴（3a﹣1）（4a﹣1）≤0，
解得≤a≤故实数a的取值范围是[，]．