题目

题型：四川省月考题难度：来源：

已知函数f（x）=﹣x³+ax²+b（a，b∈R）．
（1）当a＞0时，函数f（x）满足f（x）_极小值=1，f（x）_极大值=，试求y=f（x）的解析式；
（2）当x∈[0，1]时，设f（x）图象上任意一点处的切线的倾斜角为θ，若a∈[，]且a为常数，求θ的取值范围．

答案

解：（1）由f"（x）=﹣3x²+2ax（a＞0），
令f"（x）=0，得x=0或x=a．
当x变化时，f"（x），f（x）的变化情况如下表：

解得b=1，a=1．
∴f（x）=﹣x³+x²+1．
（2）tanθ=f"（x）=﹣3x²+2ax=，
∵a∈[，]，
∴≤≤．
∵x∈[0，1]，
∴f"（0）≤f"（x）≤f"（）．
∴0≤f"（x）≤，即0≤tanθ≤，
∵0≤θ≤π，
∴θ∈[0，arctan]，
∴θ的取值范围是[0，arctan]．