题目

题型：四川省月考题难度：来源：

已知函数f（x）=x³+2x²﹣ax，对于任意实数x恒有f"（x）≥2x²+2x﹣4，
（1）求实数a的取值范围；
（2）当a最大时，关于x的方程f（x）=k|x|恰有两个不同的根，求实数k的取值范围．

答案

解：（1）求导函数得：f"（x）=3x²+4x﹣a，
对于任意实数x恒有f"（x）≥2x²+2x﹣4，
即3x²+4x﹣a≥2x²+2x﹣4在R上恒成立，
即x²+2x﹣a+4≥0在R上恒成立，
∴△=4+4a﹣16≤0
∴a≤3．
（2）当a=3时，f（x）=x³+2x²﹣3x=x（x+3）（x﹣1），
关于x的方程f（x）=k|x|为x（x+3）（x﹣1）=k|x|
易知其中一个根必然是x=0，
所以当x=0时方程有一个根．
要使关于x的方程f（x）=k|x|恰有两个不同的根，
只需要与y=k有一个交点

由图可得k的取值范围为k＞4，或k＜﹣3．