题目

题型：江苏同步题难度：来源：

已知在函数f（x）=mx³﹣x的图象上以N（1，n）为切点的切线的倾斜角为 ．
（1）求m、n的值；
（2）是否存在最小的正整数k，使得不等式f（x）≤k﹣1995对于x∈[﹣1，3]恒成立？如果存在，请求出最小的正整数k；如果不存在，请说明理由．

答案

解：（1）f"（x）=3mx²﹣1，
依题意，得，
即1=3m﹣1，
∴，把N（1，n）代入，得
，
∴
（2）令，则
，
当时，f"（x）=2x²﹣1＞0，f（x）在此区间为增函数
当时，f"（x）=2x²﹣1＜0，f（x）在此区间为减函数
当时，f"（x）=2x²﹣1＞0，f（x）在此区间为增函数处取得极大值
又因此，当，
要使得不等式f（x）≤k﹣1995对于x∈[﹣1，3]恒成立，则k≥15+1995=2010
所以，存在最小的正整数k=2010，使得不等式f（x）≤k﹣1992对于x∈[﹣1，3]恒成立．