题目
题型:山东省月考题难度:来源:
(I)当 时,求函数f(x)的极值;
(II)设g(x)=f(x)+2x,若b≥2,求证:对任意x1,x2∈(﹣1,+∞),且x1≥x2,都有g(x1)﹣g(x2)≥2(x1﹣x2).
答案
解:(1)当时,函数解析式为,定义域为(﹣1,+∞)
∴对函数求导数,得,
令,解得或
当x变化时,f"(x),f(x)的变化情况如下表:
(2)因为f(x)=x2+bln(x+1)﹣2x,
所以 ,其中x∈(﹣1,+∞)
因为b≥2,所以f"(x)≥0(当且仅当b=2,x=0时等号成立),
所以f(x)在区间(﹣1,+∞)上是增函数,
从而对任意x1,x2∈(﹣1,+∞),
当x1≥x2时,f(x1)≥f(x2),
又∵g(x)=f(x)+2x,
∴g(x1)=f(x1)+2x1,g(x2)=f(x2)+2x2
即g(x1)+2x1≥g(x2)+2x2,整理得g(x1)﹣g(x2)≥2(x1﹣x2)
所以对任意x1,x2∈(﹣1,+∞),且x1≥x2,
都有g(x1)﹣g(x2)≥2(x1﹣x2).
核心考点
试题【函数f(x)=x2+bln(x+1)﹣2x,b∈R (I)当 时,求函数f(x)的极值;(II)设g(x)=f(x)+2x,若b≥2,求证:对任意x1,x2∈(】;主要考察你对函数极值与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1) 求f(x)的解析式;
(2) 求f(x)的单调区间.
(1)求;
(2)设函数g(x)=2x3﹣3af"(x)﹣6a3,如果g(x)在开区间(0,1)上存在极小值,求实数a的取值范围.
(Ⅰ)求;
(Ⅱ)设函数g(x)=2x3﹣3af′(x)﹣6a3,如果g(x)在开区间(0,1)上存在极小值,求实数a的取值范围.
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