题目

题型：不详难度：来源：

已知函数f（x）=x³-x²在x=1处切线的斜率为b，若g(x)=blnx-

a

x

，且g（x）＜x²在（1，+∞）上恒成立，则实数a的取值范围是______．

答案

∵f（x）=x³-x²，∴f′（x）=3x²-2x，∴f′（1）=1=b，
∴g(x)=blnx-

a

x

，且g（x）＜x²在（1，+∞）上恒成立，等价于lnx-

a

x

＜x2在（1，+∞）上恒成立，
∴a＞xlnx-x³在（1，+∞）上恒成立，
令h（x）=xlnx-x³，则h′（x）=lnx+1-3x²
∵x＞1，∴h′（x）＜0
∴h（x）=xlnx-x³，在（1，+∞）上单调递减
∵h（1）=-1
∴a＞-1
故答案为：a＞-1．