题目

题型：黑龙江难度：来源：

设a为实数，函数f（x）=x³-x²-x+a．
（Ⅰ）求f（x）的极值；
（Ⅱ）当a在什么范围内取值时，曲线y=f（x）与x轴仅有一个交点．

答案

（1）令f"（x）=3x²-2x-1=0得：x1=-

1

3

，x2=1．
又∵当x∈（-∞，-

1

3

）时，f"（x）＞0；
当x∈（-

1

3

，1）时，f"（x）＜0；
当x∈（1，+∞）时，f"（x）＞0；
∴x1=-

1

3

与x₂=（1分）别为f（x）的极大值与极小值点．
∴f（x）_极大值=f(-

1

3

)=a+

5

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；f（x）_极小值=a-1
（2）∵f（x）在（-∞，-

1

3

）上单调递增，
∴当x→-∞时，f（x）→-∞；
又f（x）在（1，+∞）单调递增，当x→+∞时，f（x）→+∞
∴当f（x）_极大值＜0或f（x）_极小值＞0时，曲线f（x）与x轴仅有一个交点．
即a+

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＜0或a-1＞0，
∴a∈（-∞，-

5

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）∪（1，+∞）