题目

题型：不详难度：来源：

已知函数f（x）=x²-2ax+b在x=1处有极值2．
（1）求函数f（x）=x²-2ax+b在闭区间[0，3]上的最值；
（2）求曲线）y=x²-2ax+b，y=x+3所围成的图形的面积S．

答案

（1）由已知f′（x）=2x-2a
因为在x=1时有极值2，所以

f′(1)=2-2a=0 f(1)=1-2a+b=2

解方程组得：

a=1 b=3

所以f（x）=x²-2x+3．
当x∈[0，1]时，f′（x）＜0所以f（x）单调递减
当x∈[1，3]时，f′（x）＞0所以f（x）单调递增且f（0）=3，f（1）=2，f（3）=6
所以f（x）的最大值为6，f（x）最小值为2
（2）由

y=x+3 y=x2-2x+3

解得x=0及x=3．
从而所求图形的面积s=

∫

30

[(x+3)-(x2-2x+3)]dx=

∫

30

(-x2+3x)dx=

9

2

．