题目

题型：不详难度：来源：

对于函数f（x）=ax³，（a≠0）有以下说法：
①x=0是f（x）的极值点．
②当a＜0时，f（x）在（-∞，+∞）上是减函数．
③f（x）的图象与（1，f（1））处的切线必相交于另一点．
其中说法正确的序号是______．

答案

由于函数f（x）=ax³，（a≠0），则f′（x）=3ax²
①由于f′（x）=3ax²恒为正或恒为负，故x=0不是f（x）的极值点，故①错误；
②由于a＜0时，f′（x）=3ax²＜0在（-∞，+∞）上恒成立，则f（x）在（-∞，+∞）上是减函数，故②正确；
③由于f′（x）=3ax²，则f′（1）=3
故f（x）在（1，f（1））处的切线方程：y-a=3（x-1），即：y=3x+a-3，
联立y=ax³，（a≠0）得到ax³=3x+a-3，整理得（x-1）（ax²+ax+a-3）=0
若△=a²-4a（a-3）≥0，则y=3x+a-3与y=ax³（a≠0）必有两个以上的交点；
若△=a²-4a（a-3）＜0，则y=3x+a-3与y=ax³（a≠0）只有一个交点（1，f（1））．故③错误．
故答案为 ②．