题目

题型：不详难度：来源：

已知函数f（x）=xlnx．
（I）若函数g（x）=f（x）+x²+ax+2有零点，求实数a的最大值；
（II）若∀x＞0，

f(x)

x

≤x-kx²-1恒成立，求实数k的取值范围．

答案

（I）∵函数g（x）=f（x）+x²+ax+2有零点，
∴g（x）=xlnx+x²+ax+2在（0，+∞）上有实数根．
即-a=lnx+x+

2

x

在（0，+∞）上有实数根．
令h（x）=lnx+x+

2

x

，（x＞0），则h′(x)=

1

x

+1-

1

x2

=

(x+2)(x-1)

x2

．

解h′（x）＜0，得0＜x＜1；解h′（x）＞0，得x＞1．

∴h（x）在（0，1）上单调递减；在（1，+∞）上单调递增．

∴h（x）在x=1时取得极小值，即最小值h（1）=3．

∴-a≥3，解得a≤-3．∴实数a的最大值为-3．

（II）∵∀x＞0，

f(x)

x

≤x-kx²-1恒成立，
∴lnx≤x-1-kx²，即k≤

1

x2

(x-1-lnx)．

令g（x）=x-1-lnx，x＞0．

g′(x)=1-

1

x

=

x-1

x

，
令g′（x）＞0，解得x＞1，∴g（x）在区间（1，+∞）上单调递增；

令g′（x）＜0，解得0＜x＜1，∴g（x）在区间（0，1）上单调递减．

∴当x=1时，g（x）取得极小值，即最小值，∴g（x）≥g（1）=0，
∴k≤0，即实数k的取值范围是（-∞，0]．