题目
题型:不详难度:来源:
1 |
2 |
(Ⅰ)试用含有a的式子表示b,并求f(x)的极值;
(Ⅱ)对于函数f(x)图象上的不同两点A(x1,y1),B(x2,y2),如果在函数图象上存在点M(x0,y0)(其中x0∈(x1,x2)),使得点M处的切线l∥AB,则称AB存在“伴随切线”.特别地,当x0=
x1+x2 |
2 |
答案
1 |
x |
代入f′(x)=
1 |
x |
1 |
x |
(ax+1)(x-1) |
x |
当f"(x)>0时,-
(ax+1)(x-1) |
x |
又a>0,∴0<x<1,即f(x)在(0,1)上单调递增;
当f"(x)<0时,-
(ax+1)(x-1) |
x |
又a>0,∴x>1,即f(x)在(1,+∞)上单调递减.
∴f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.
所以,当x=1时,f(x)的极大值为f(1)=ln1-
1 |
2 |
a |
2 |
(Ⅱ)在函数f(x)的图象上不存在两点A、B使得它存在“中值伴随切线”.
假设存在两点A(x1,y1),B(x2,y2),不妨设0<x1<x2,则y1=lnx1-
1 |
2 |
x | 21 |
1 |
2 |
x | 22 |
y2-y1 |
x2-x1 |
(lnx2-lnx1)-
| ||||||
x2-x1 |
lnx2-lnx1 |
x2-x1 |
1 |
2 |
在函数图象x0=
x1+x2 |
2 |
x1+x2 |
2 |
2 |
x1+x2 |
x1+x2 |
2 |
由
lnx2-lnx1 |
x2-x1 |
1 |
2 |
2 |
x1+x2 |
x1+x2 |
2 |
化简得:
lnx2-lnx1 |
x2-x1 |
2 |
x1+x2 |
x2 |
x1 |
2(x2-x1) |
x2+x1 |
2(
| ||
|
令
x2 |
x1 |
2(t-1) |
t+1 |
4 |
t+1 |
4 |
t+1 |
若令g(t)=lnt+
4 |
t+1 |
1 |
t |
4 |
(t+1)2 |
(t-1)2 |
t(t+1)2 |
由t≥1,g"(t)≥0,∴g(t)在[1,+∞)在上单调递增,g(t)>g(1)=2.
这表明在(1,+∞)内不存在t,使得lnt+
4 |
t+1 |
综上所述,在函数f(x)上不存在两点A、B使得它存在“中值伴随切线”.
核心考点
试题【已知函数f(x)=lnx-12ax2+bx(a>0),且f′(1)=0.(Ⅰ)试用含有a的式子表示b,并求f(x)的极值;(Ⅱ)对于函数f(x)图象上的不同两点】;主要考察你对函数极值与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
A.(0,0) | B.(
| C.(
| D.(2,4) |
①f(1)+f(-1)=0;②f(-2)>0;③函数y=f"(x)在区间(-∞,0)上是增函数.其中正确的判断是______.(写出所有正确判断的序号)
A.y=-3x | B.y=-2x | C.y=3x | D.y=2x |
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