点P是曲线y=x2-lnx上任意一点，则点P到直线x-y-4=0的距离的最小值是______． - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

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点P是曲线y=x²-lnx上任意一点，则点P到直线x-y-4=0的距离的最小值是______．

答案

设P（x，y），则y′=2x-

（x＞0）
令2x-

=1，则（x-1）（2x+1）=0，
∵x＞0，∴x=1
∴y=1，即平行于直线y=x+2且与曲线y=x²-lnx相切的切点坐标为（1，1）
由点到直线的距离公式可得点P到直线x-y-4=0的距离的最小值d=

|1-1-4|

．
故答案为：2

．

核心考点

试题【点P是曲线y=x2-lnx上任意一点，则点P到直线x-y-4=0的距离的最小值是______．】；主要考察你对函数极值与最值等知识点的理解。[详细]

举一反三

在曲线y=x²上切线斜率为1的点是（　　）

A．（0，0）

B．(

，

)

C．(

，

)

D．（2，4）

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设函数f（x）=x³+ax+b的图象为曲线C，直线y=kx-2与曲线C相切于点（1，0）．则k=______；函数f（x）的解析式为______．

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函数f（x）=ax³+bx²+cx的图象如图所示，且f（x）在x=x₀与x=-1处取得极值，给出下列判断：
①f（1）+f（-1）=0；②f（-2）＞0；③函数y=f"（x）在区间（-∞，0）上是增函数．其中正确的判断是______．（写出所有正确判断的序号）

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设a为实数，函数f（x）=x³+ax²+（a-2）x的导函数是f′（x）是偶函数，则曲线y=f（x）在原点处的切线方程为（　　）

A．y=-3x

B．y=-2x

C．y=3x

D．y=2x

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已知函数f（x）=（ax²+bx+c）e^2-x在x=1处取得极值，且在点（2，f（2））处的切线方程为6x+y-27=0．
（1）求a，b，c的值；
（2）求函数f（x）的单调区间，并指出f（x）在x=1处的极值是极大值还是极小值．

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