题目
题型:不详难度:来源:
(1)若 的极小值为1,求a的值.
(2)若对任意 ,都有 成立,求a的取值范围.
答案
解析
试题分析:(1)先求导,利用导数的性质求出存在极小值的条件,然后求解即可;(2)利用导数的求出函数的单调性,然后在求出函数在上的极小值,可得极小值大于等于1,解之即可.
试题解析:(1)因为,所以
当a≤0时,,所以在定义域(0,+∞上单调递减,不存在极小值;
当a>0时,令,可得 ,当 时,有, 单调递减;当时,由, 单调递增,
所以是函数的极小值点,故函数的极小值为,解得.
(2)由(1)可知,当a≤0时,在定义域(0,+∞上单调递减,且在x=0附近趋于正无穷大,而,由零点存在定理可知函数在(0,1]内存在一个零点,不恒成立;
当a>0时,若恒成立,则,即a≥1,
结合(1)a≥1时,函数在(0,1]内先减后增,要使恒成立,则的极小值大于或等于1成立,所以 即,可得,综上可得.
核心考点
举一反三
(1)当时,求曲线在点处的切线方程;
(2)求函数的极值.
(1)当时,求函数的极值;
(2)求函数的单调区间.
(1)求函数在上的最小值;
(2)若函数有两个不同的极值点、且,求实数的取值范围.
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