题目
题型:山东省高考真题难度:来源:
(Ⅰ)当a≤时,讨论f(x)的单调性;
(Ⅱ)设g(x)=x2-2bx+4,当a=时,若对任意x1∈(0,2),存在x2∈[1,2],使f(x1)≥g(x2),求实数b的取值范围。
答案
所以,
令h(x)=ax2-x+1-a,x∈(0,+∞),
①当a=0时,h(x)=-x+1,x∈(0,+∞),
所以当x∈(0,1)时,h(x)>0,此时f′(x)<0,函数f(x)单调递减;
当x∈(1,+∞)时,h(x)<0,此时f′(x)>0,函数f(x)单调递增;
②当a≠0时,由f′(x)=0,即ax2-x+1-a=0,解得x1=1,,
(ⅰ)当时,x1=x2,h(x)≥0恒成立,此时f′(x)≤0,函数f(x)在(0,+∞)上单调递减;
(ⅱ)当时,,x∈(0,1)时,h(x)>0,此时f′(x)<0,函数f(x)单调递减;
时,h(x)<0,此时f′(x)>0,函数f(x)单调递增;
时,h(x)>0,此时f′(x)<0,函数f(x)单调递减;
(ⅲ)当a<0时,由于时,h(x)>0,此时f′(x)<0,函数f(x)单调递减;
x∈(1,+∞)时,h(x)<0,此时f′(x)>0,函数f(x)单调递增;
综上所述,当a≤0时,函数f(x)在(0,1)上单调递减,函数f(x)在(1,+∞)上单调递增;
当时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递减;
当时,函数f(x)在(0,1)上单调递减,函数f(x)在上单调递增,
函数f(x)在上单调递减;
(Ⅱ)因为,由(Ⅰ)知,x1=1,x2=3(0,2),
当x∈(0,1)时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减;
当x∈(1,2)时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增,所以f(x)在(0,2)上的最小值为,
由于“对任意x1∈(0,2),存在x2∈[1,2],使f(x1)≥g(x2)” 等价于“g(x)在[1,2]上的最小值不大于f(x)在(0,2)上的最小值”,
又g(x)=(x-b)2+4-b2,x∈[1,2],
所以(ⅰ)当b<1时,因为[g(x)]min=g(1)=5-2b>0,此时与(*)矛盾;
(ⅱ)当b∈[1,2]时,因为[g(x)]min=4-b2≥0,同样与(*)矛盾;
③当b∈(2,+∞)时,因为[g(x)]min=g(2)=8-4b,
解不等式,可得;
综上,b的取值范围是。
核心考点
试题【已知函数f(x)=lnx-ax+-1(a∈R),(Ⅰ)当a≤时,讨论f(x)的单调性;(Ⅱ)设g(x)=x2-2bx+4,当a=时,若对任意x1∈(0,2),存】;主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)讨论函数f(x)的单调区间;
(2)设函数f(x)在区间内是减函数,求a的取值范围。
(1)证明:函数f(x)在区间(0,1)是增函数;
(2)证明:an<an+1<1;
(3)设b∈(a1,1),整数k≥。证明:ak+1>b。
(Ⅰ)当a=1时,求f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若f(x)在(0,1]上的最大值为,求a的值。
(1)当时,判断函数f(x)在定义域上的单调性;
(2)求函数f(x)的极值点;
(3)证明:对任意的正整数n,不等式ln(+1)>都成立。
(1)设a>0,讨论y=f(x)的单调性;
(2)若对任意x∈(0,1)恒有f(x)>1,求a的取值范围。
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