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平面向量共线条件
平面向量共线条件
如果a≠0,那么向量b与a共线的充要条件是:存在唯一实数λ,使得b=λa。
证明:
1)充分性:对于向量 a(a≠0)、b,如果有一个实数λ,使 b=λa,那么由实数与向量的积的定义 知,向量a与b共线。
2)必要性:已知向量a与b共线,a≠0,且向量b的长度是向量a的长度的m倍,即 ∣b∣=m∣a∣。那么当向量a与b同方向时,令 λ=m,有 b =λa,当向量a与b反方向时,令 λ=-m,有 b=-λa。如果b=0,那么λ=0。
3)唯一性:如果 b=λa=μa,那么 (λ-μ)a=0。但因a≠0,所以 λ=μ。
相关试题
已知=(1,0),=(1,1),求使(+)∥(+)成立的实数的值并判断+与+的方向。 已知向量=(k,12),=(4,5),=(-k,10),且A,B,C三点共线,则k=( )。 已知函数 。
(1)判断函数f(x)的奇偶性;
(2)当时,求函数f(x)的值域;
(3)若=(sinα,1),=(cosα,1),并且∥,求f(α)的值。a=(3,-4),e是与a共线的单位向量,则e等于( )。 已知向量e1、e2不共线。
(Ⅰ)若=2e1-e2,=2e1-8e2,=8e1+3e2,求证:A、B、D三点共线;
(Ⅱ)若向量λe1-e2与4e1-λe2共线,求实数λ的值。已知向量,若共线,则=( )。 下列命题中: ①∥存在唯一的实数∈R,使得=;②为单位向量,且∥,则=
±||·;③|··|=||3;④与共线,与共线,则与共线;⑤若·=·且≠,则=。其中正确命题的序号是[ ] A、①⑤
B、②③④
C、②③
D、①④⑤设是两个不共线的向量,,,若、共线,确定实数k的值。 向量a=(4,2),b=(2,x)。
(1)a与b垂直,求x;
(2)a与b平行,求x。( )。 给出下列命题:
①函数的单调递减区间为;
②,O为坐标原点,若A,B,C三点共线,则的最小值是8;
③已知p:,q:,则p是q的必要不充分条件;
④在平面内,与圆及都外切的动圆圆心的轨迹是双曲线;
其中所有正确命题的序号为( )。已知向量,,,且A、B、C三点共线,则实数k=( )。 △ABC的三个内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,若=(a+c,b)与=(b-a,c-a)是共线向量,则角C= [ ] A.120°
B.60°
C.30°
D.45°设、是两个不共线的非零向量(t∈R)。
(1)记,那么当实数t为何值时,A、B、C三点共线?
(2)若||=||=1且与夹角为120°,那么实数x为何值时|-x|的值最小?已知点A(-1,2),B(2,8)及,,求点C,D和向量的坐标。 已知向量=(cosx,2),=(sinx,-3),当∥时,tan2x的值是( )。 设=(1,2),=(2,3),=(-4,-7),若λ+与共线,则λ=( )。 设是两个不共线向量,已知,,,若三点A、B、D共线,求k的值。 已知向量,满足且∥,则实数m=( )。 现有下列命题: ①命题“x∈R,x2+x+1=0”的否定是“x∈R,x2+x+1≠0”;
②若A={x|x>0},B={x|x≤-1},则A∩CRB=A;
③函数f(x)=sin(wx+ψ)(w>0)是偶函数的充要条件是;
④若非零向量a,b满足a=λb,b=λa(λ∈R),则λ=1。
其中正确命题的序号有( )(把所有真命题的序号都填上)已知平面上直线l的方向向量,点O(0,0)和P(-2,2)在直线l的正射影分别是O′和P′,且,则λ等于 [ ] A、-2(+1)
B、2(+1)
C、-(+1)
D、+1已知过点A(t,0)(t>2)且倾斜角为60°的直线与双曲线C:=1交于M,N两点,交双曲线C的右准线于点P,满足3,则t=( ) 已知,则与平行的单位向量是( )。 已知向量.
(Ⅰ)若,求k的值;
(Ⅱ)若,求m的值。设是两个不共线向量,已知,若有A,B,C三点共线,求k值。 椭圆短轴的左、右两个端点分别为A,B,直线l:y=kx+1与x轴,y轴分别交于两点E,F,交椭圆于两点C,D。
(Ⅰ)若,求直线l的方程;
(Ⅱ)设直线AD,CB的斜率分别为k1,k2,若k1:k2=2:1,求k的值。已知向量a=(sinθ,cosθ),其中,
(Ⅰ)若b=(2,1),a∥b,求sinθ和cosθ的值;
(Ⅱ)若c=(-1,),求|a+c|的最大值.三角形的三个内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,设向量m=(c-a,b-a),n=(a+b,c),若m∥n,
(Ⅰ)求角B的大小;
(Ⅱ)求sinA+sinC的取值范围。下列命题正确的是 [ ]
A.单位向量都相等
B.若a与b共线,b与c共线,则a与c共线
C.若|a+b|=|a-b|,则a·b=0
D.若a与b都是单位向量,则a·b=1
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