题目

题型：模拟题难度：来源：

已知函数f（x）=2x³+3（1-2a）x²+6a（a-1）x（a∈R）。
（1）求y=f（x）的单调区间；
（2）若关于x的方程f（x）=0有且仅有一个实数根，求实数a的取值范围；
（3）是否存在这样的常数a∈（-∞，]使得直线y=1与y=f（x）相切，如果存在，求出a，否则请说明理由。

答案

解：（1）由求导数得到
f"（x）=6x²+6（1-2a）x+6a（a-1）=6（x-a）（x-a+1）
∴y=f（x）在（-∞，a-1]上为增函数；在[a-1，a]上为减函数；在[a，+∞）上为增函数。
（2）由
对于关于x的二次方程
无实根或仅有零根，仅有零根不可能，
则判别式Δ=[3（1-2a）]²-4×2×6a（a-1）
=3（-2a+3）（2a+1）＜0
∴或
故所求a的取值范围为。
（3）设y=1与y=f（x）相切于点（x₀，y₀）
则
在x₀=a时，则
∴
而当恒成立
∴2a³-3a²=1不可能成立，
在x₀=a-1时，则
化简为，则a=0或
符合
因此所求符合条件的a值分别为0或。