已知数列{an}中,a1=1,a2=3,且an+1=an+2an-1(n≥2). (1)设bn=an+1+λan,是否存在实数λ,使数列{bn}为等比数列.若存在,求出λ的值,若不存在,请说明理由; (2)求数列{an}的前n项和Sn. |
(本小题满分14分) (1)方法1:假设存在实数λ,使数列{bn}为等比数列, 则有b22=b1b3. ①…(1分) 由a1=1,a2=3,且an+1=an+2an-1,得a3=5,a4=11. 所以b1=a2+λa1=3+λ,b2=a3+λa2=5+3λ,b3=a4+λa3=11+5λ,…(2分) 所以(5+3λ)2=(3+λ)(11+5λ), 解得λ=1或λ=-2.…(3分) 当λ=1时,bn=an+1+an,bn-1=an+an-1,且b1=a2+a1=4, 有===2(n≥2).…(4分) 当λ=-2时,bn=an+1-2an,bn-1=an-2an-1,且b1=a2-2a1=1, 有===-1(n≥2).…(5分) 所以存在实数λ,使数列{bn}为等比数列. 当λ=1时,数列{bn}为首项是4、公比是2的等比数列; 当λ=-2时,数列{bn}为首项是1、公比是-1的等比数列.…(6分) 方法2:假设存在实数λ,使数列{bn}为等比数列, 设=q(n≥2),…(1分) 即an+1+λan=q(an+λan-1),…(2分) 即an+1=(q-λ)an+qλan-1.…(3分) 与已知an+1=an+2an-1比较,令…(4分) 解得λ=1或λ=-2.…(5分) 所以存在实数λ,使数列{bn}为等比数列. 当λ=1时,数列{bn}为首项是4、公比是2的等比数列; 当λ=-2时,数列{bn}为首项是1、公比是-1的等比数列.…(6分) (2)解法1:由(1)知an+1+an=4×2n-1=2n+1(n≥1),…(7分) 当n为偶数时,Sn=(a1+a2)+(a3+a4)+(a5+a6)+…+(an-1+an)…(8分) =22+24+26+…+2n…(9分) ==(2n+2-4).…(10分) 当n为奇数时,Sn=a1+(a2+a3)+(a4+a5)+…+(an-1+an)…(11分) =1+23+25+…+2n…(12分) =1+=(2n+2-5).…(13分) 故数列{an}的前n项和Sn= | (2n+2-4) , n 为偶数 | (2n+2-5) , n为奇数 |
| | …(14分) 注:若将上述和式合并,即得Sn=[(2n+2-4)+]. 解法2:由(1)知an+1-2an=(-1)n+1(n≥1),…(7分) 所以-==(-)n+1(n≥1),…(8分) 当n≥2时,=+(-)+(-)+…+(-) =+(-)2+(-)3+…+(-)n =+=+[1-(-)n-1]. 因为=也适合上式,…(10分) 所以=+[1-(-)n-1](n≥1). 所以an=[2n+1+(-1)n].…(11分) 则Sn=[(22+23+24+…+2n+1)+((-1)1+(-1)2+(-1)3+…+(-1)n)],…(12分) =[+]…(13分) =[(2n+2-4)+].…(14分) 解法3:由(1)可知, | an+1+an=4×2n-1 | an+1-2an=1×(-1)n-1. |
| | …(7分) 所以an=[2n+1+(-1)n].…(8分) 则Sn=[(22-1)+(23+1)+(24-1)+(25+1)+…+(2n+(-1)n-1)+(2n+1+(-1)n)],…(9分) 当n为偶数时,Sn=(22+23+24+25+…+2n+2n+1)…(10分) =×=(2n+2-4).…(11分) 当n为奇数时,Sn=[(22+23+24+25+…+2n+2n+1)-1]…(12分) =×[-1]=(2n+2-5).…(13分) 故数列{an}的前n项和Sn= | (2n+2-4) , n 为偶数 | (2n+2-5) , n为奇数 |
| | …(14分) 注:若将上述和式合并,即得Sn=[(2n+2-4)+]. |
核心考点
试题【已知数列{an}中,a1=1,a2=3,且an+1=an+2an-1(n≥2).(1)设bn=an+1+λan,是否存在实数λ,使数列{bn}为等比数列.若存在】;主要考察你对
等比数列等知识点的理解。
[详细]
举一反三
已知数列{an}满足:a1=1,an+1= (I)求a2,a3; (II)设bn=a2n-2,n∈N*,求证:数列{bn}是等比数列,并求其通项公式; (Ⅲ)求数列{an}前20项中所有奇数项的和. |
设Sn是等比数列{an}前n项的乘积,若a9=1,则下面的等式中正确的是( )A.S1=S19 | B.S3=S17 | C.S5=S12 | D.S8=S11 |
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已知数列{an} 的前n项和Sn ,且Sn=(an-1)(n∈N*). (1)求a1,a2,a3; (2)求证:数列{an} 是等比数列. |
等比数列{an}的公比为q,其前n项积为Tn,并且满足条件a1>1,a99a100>1,<0,给出下列结论:①0<q<1;②a99a101-1<0;③T100的值是Tn中最大的;④使Tn>1成立的最大自然数n等于198.其中正确的结论是______. |
若实数列1,a,b,c,4是等比数列,则b的值为______. |