题目

题型：广东省模拟题难度：来源：

已知函数f(x)=+lnx，
(1)若函数f(x)在[1，+∞)上为增函数，求正实数a的取值范围；
(2)当a=1时，求f(x)在上的最大值和最小值；
(3)当a=1时，求证：对大于1的任意正整数n，都有lnn＞。

答案

解：(1)因为，所以，
因为函数f(x)在[1，+∞)上为增函数，
所以对x∈[1，+∞)恒成立，
所以ax-1≥0对x∈[1，+∞)恒成立，即a≥对x∈[1，+∞)恒成立，
所以a≥1。
(2)当a=1时，，
所以当时，f′(x)＜0，故f(x)在上单调递减；
当x∈(1，2]时，f′(x)＞0，故f(x)在x∈(1，2]上单调递增，
所以f(x)在区间上有唯一极小值点，故f(x)_min=f(x)_极小值=f(1)=0；
又，
因为e³＞16，所以，即，
所以f(x)在区间上的最大值为；
综上可知，函数f(x)在上的最大值是1-ln2，最小值是0．
(3)当a=1时，，
故f(x)在[1，+∞)上为增函数．
当n＞1时，令，则x＞1，故f(x)＞f(1)=0．
因为，
即，
所以，
所以，
所以，
即对大于1的任意正整数n，都有。