题目

题型：湖北省模拟题难度：来源：

已知函数，g（x）=x²-2mx+4。
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若对任意x₁∈（0，2），总存在x₂∈[1，2]使f（x₁）≥ g（x₂），求实数m的取值范围。

答案

解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞）

由f"（x）>0得：1＜x＜3，由f"（x）＜0得：0＜x＜1或x>3
∴函数f（x）的单调增区间为（1，3）；单调减区间为（0，1），（3，+∞）。
（2）由（1）知函数f（x）在区间（0，1）上递减，在区间（1，2）上递增，
∴函数f（x）在区间（0，2）上的最小值为
由于“对任意x₁∈（0，2），总存在x₂∈[1，2]使f（x₁）≥ g（x₂）”等价于“g（x）在区间[1，2]上的最小值不大于f（x）在区间（0，2）上的最小值
因此
又g（x）=（x-m）²+4-m²，x∈[1，2]，
∴①当m＜1时，[g（x）]_min=g（1）=5-2m>0，与（*）矛盾；
②当m∈[1，2]时，[g（x）]_min=4-m²≥0，与（*）矛盾；
③当m>2时，
综上知，m的取值范围是。