题目

题型：湖南省模拟题难度：来源：

设函数f（x）=p（x-）-2lnx，（p是实数，e为自然对数的底数），
（Ⅰ）若f（x）在其定义域内为单调函数，求p的取值范围；
（Ⅱ）若在[1，e]上至少存在一点x₀，使得f（x₀）＞g（x₀）成立，求p的取值范围。

答案

解：（Ⅰ）f（x）在其定义域为（0，+∞），f′（x）=，
要使f（x）为单调增函数，须f′（x）≥0恒成立，
即px²-2x+p≥0恒成立，即恒成立，
又，
所以当p≥1时，f（x）在（0，+∞）为单调增函数；
要使f（x）为单调减函数，须f′（x）≤0恒成立，
即px²-2x+p≤0恒成立，即恒成立，
又，
所以当p≤0时，f（x）在（0，+∞）为单调减函数；
综上所述，f（x）在（0，+∞）为单调函数，p的取值范围为p≥1或p≤0。
（Ⅱ）因在[1，e]上为减函数，所以g（x）∈[2，2e]，
①当p≤0时，由（Ⅰ）知f（x）在[1，e]上递减f（x）_max=f（1）=0＜2，不合题意；
②当p≥1时，由（Ⅰ）知f（x）在[1，e]上递增，f（1）＜2，
又g（x）在[1，e]上为减函数，
故只需f（x）_max＞g（x）_min，x∈[1，e]，
即；
③当0＜p＜1时，因，x∈[1，e]，
所以不合题意；
综上，p的取值范围为。