题目
题型:河南省模拟题难度:来源:
(Ⅰ)试写出S关于t的函数关系式;
(Ⅱ)求面积S的最小值;
(Ⅲ)若对于t>恒成立,求实数a的取值范围。
答案
设 A(m,0),B(0,n),
则,解得,
所以,
注意到时,1+lnt>0,
故为所求;
(Ⅱ)记,则S′=g′(t)=,
,
∴时,S′<0;时,S′>0,
即函数S=g(t)在上单调递减,在上单调递增,
,
所以面积S的最小值为,当且仅当时取到;
(Ⅲ)由,及1+lnt>0得,对t>恒成立,
记u(t)=,则u′(t)=,
当,即a<0或a≥e时,u′(t)>0恒成立,
此时u(t)在上单调递增,
∴,解得a<0或a≥2e2+2e,
当,即0<a<e时,u′(t)>0,
所以函数u(t)在上单调递减,在上单调递增,
此时,
∴,此方程无解;
综上,a<0或a≥2e2+2e为所求。
核心考点
试题【已知曲线y=xlnx(x>)在点(t,tlnt)处的切线l交x轴于点A,交y轴于点B,△AOB(O为坐标原点)的面积为S,(Ⅰ)试写出S关于t的函数关系式;(Ⅱ】;主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知函数f(x)=-2x2+lnx,其中a为常数,e为自然对数的底数,
(Ⅰ)若a=1,求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若函数f(x)在区间[1,2]上为单调函数,求a的取值范围。
(1)若函数g(x)=f(x)-ax在其定义域内为增函数,求实数a的取值范围;
(2)在(1)的条件下,若a>1,h(x)=x3-3ax,x∈[1,2],求h(x)的极小值;
(3)设F(x)=2f(x)-3x2-kx(k∈R),若函数F(x)存在两个零点,m,n(0<m<n),且2x0=m+n,证明:函数F(x)在点(x0,F(x0))处的切线不可能平行于x轴。
(Ⅰ)若m<1,求证:函数f(x)是增函数;
(Ⅱ)如果函数f(x)的值域是[0,2],试求m的取值范围;
(Ⅲ)如果函数f(x)的值域是[0,λm2],试求实数λ的最小值。
(1)当时,判断函数f(x)的定义域上的单调性;
(2)试讨论函数f(x)的极值情况,若极值存在,求出极值点。
(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)对任意x1,x2∈R+,若g(x1)<f′(x2)恒成立,求实数m的取值范围。
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