题目

题型：江苏模拟题难度：来源：

已知函数f（x）=x|x²-3|，x∈[0，m]，其中m∈R，且m＞0，
（Ⅰ）若m＜1，求证：函数f（x）是增函数；
（Ⅱ）如果函数f（x）的值域是[0，2]，试求m的取值范围；
（Ⅲ）如果函数f（x）的值域是[0，λm²]，试求实数λ的最小值。

答案

解：（Ⅰ）当m＜1时，f（x）=x（3-x²）=3x-x³，
因为f′（x）=3-3x²=3（1-x²）＞0，
所以f（x）是增函数；
（Ⅱ）令g（x）=x|x²-3|，x≥0，
则，
当时，由g′（x）=3-3x²=0得x=1，
所以g（x）在[0，1]上是增函数，在上是减函数；
当时，由g′（x） =3x²-3＞0，所以g（x）在上是增函数，
所以当时，函数g（x）的最大值是g（1）=2，最小值是g（0）=，
从而0＜m＜1均不符合题意，且均符合题意；
当x≥0时，在时，f（x）∈[0，2]；
在时，f（x）∈[0，f（m）]；
这时f（x）的值域是[0，2]的充要条件是f（m）≤2，
即m³-3m≤2，（m-2）（m+1）²≤0，
解得，
综上所述，m的取值范围是[1，2]。
（Ⅲ）据（Ⅱ）知，当0＜m＜1时，函数f（x）的最大值是f（m）=3m-m³，
由题意知，3m-m³=λm²，即-m是减函数，
故λ的取值范围是（2，+∞）；
当1≤m≤2时，函数f（x）的最大值是f（1）=2，
由题意知，2=λm²，即是减函数，故λ的取值范围是；
当m＞2时，函数f（x）的最大值是f（m）=m³-3m，
由题意知，m³-3m=λm²，即λ=m-是增函数，
故λ的取值范围是；
综上所述，λ的最小值是，且此时m=2。