题目

题型：福建省模拟题难度：来源：

已知函数f（x）=xe^x。
（1）求f（x）的单调区间与极值；
（2）是否存在实数a，使得对于任意的x₁，x₂∈（a，+∞），且x₁＜x₂，恒有成立？若存在，求a的范围；若不存在，说明理由。

答案

解：（1）由f"（x）=e^x（x+1）=0，得x=-1
当x变化时，f"（x），f（x）的变化情况如下表：
 
可知f（x）的单调递减区间为（-∞，-1），递增区间为（-1，+∞），
f（x）有极小值为，但没有极大值。
（2）令
则（*）成立，
即g（x）在（a，+∞）内单调递增，
这只需g"（x）>0
而g"（x）=
记h（x）=e^x（x²-ax-a）+ae^a，
则h"（x）=e^x[x²+（2-a）x-2a] =e^x（x+2）（x-a）
故当a≥-2，且x>a时，h"（x）>0，h（x）在[a，+∞）上单调递增
故h（x）>h（a）=0，从而g"（x）>0，不等式（*）恒成立
另一方面，当a＜-2，且a＜x＜-2时，h"（x）＜0，h（x）在[a，-2]上单调递减，
又h（a）=0，所以h（x）＜0，即g"（x）＜0，g（x）在（a，-2）上单调递减
从而存在x₁，x₂，a＜x₁＜x₂＜-2，使得g（x₂）＜g（x₁）
可知，不等式（*）不成立
因此a的取值范围是[-2，+∞）。