题目
题型:北京期末题难度:来源:
(Ⅰ)若a=2,求曲线y=f(x)在x=1处切线的斜率;
(Ⅱ)求f(x)的单调区间;
(Ⅲ)设g(x)=x2-2x+2,若对任意x1∈(0,+∞),均存在x2∈[0,1],使得f(x1)<g(x2),求a的取值范围。
答案
解:(Ⅰ)由已知,,
故曲线y=f(x)在x=1处切线的斜率为3;
(Ⅱ),
①当a≥0时,由于x>0,故ax+1>0,f′(x)>0,
所以,f(x)的单调递增区间为(0,+∞);
②当a<0时,由f′(x)=0,得,
在区间上,f′(x)>0,在区间上,f′(x)<0,
所以,函数f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为。
(Ⅲ)由已知,转化为,,
由(Ⅱ)知,当a≥0时,f(x)在(0,+∞)上单调递增,值域为R,故不符合题意;
(或者举出反例:存在,故不符合题意)
当a<0时,f(x)在上单调递增,在上单调递减,
故f(x)的极大值即为最大值,,
所以,
解得。
核心考点
试题【已知函数f(x)=ax+lnx(a∈R),(Ⅰ)若a=2,求曲线y=f(x)在x=1处切线的斜率;(Ⅱ)求f(x)的单调区间;(Ⅲ)设g(x)=x2-2x+2,】;主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
(Ⅰ)若曲线y=f(x)在x=1和x=3处的切线互相平行,求a的值;
(Ⅱ)求f(x)的单调区间;
(Ⅲ)设g(x)=x2-2x,若对任意x1∈(0,2],均存在x2∈(0,2],使得f(x1)<g(x2),求a的取值范围。
(1)若函数f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=4x-1,求a的值;
(2)当a<1时,讨论函数f(x)的单调性。
(1)讨论a=1时,f(x)的单调性、极值;
(2)求证:在(1)的条件下,f(x)>g(x)+;
(3)是否存在实数a,使f(x)的最小值是3,若存在,求出a的值;若不存在,说明理由。
求:(Ⅰ)a的值;
(Ⅱ)函数f(x)的单调区间。
(Ⅰ)用a分别表示b和c;
(Ⅱ)当bc取得最小值时,求函数g(x)=-f(x)e-x的单调区间。
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