题目
题型:0119 期中题难度:来源:
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)若函数f(x)有两个零点,求实数的取值范围;
(3)若函数f(x)的最小值为h(a),m,n为h(a)定义域A中的任意两个值,求证:。
答案
令,
当a≥0时,,
∴函数上单调递增;
当a<0时,若;
若;
∴函数上单调递减,在区间上单调递增;
综上所述,当a≥0时,函数f(x)的单调增区间为;
当a<0时,函数f(x)的单调减区间为,单调增区间为;
(2)由(1)知,当a≥0时,函数f(x)至多有一个零点,不符合题意,
∴a<0,
又由(1)知,若a<0,
则函数f(x)在处取得极小值,
∴函数f(x)有两个零点,解得a<-2e,
∴a的取值范围是;
(3)由(1)(2)知,当a≥0时,函数f(x)无最小值;
当a<0时,,
对于且m≠n,有
,
不妨设m<n<0,则,
令,则
,
设,
则,
当且仅当t=1时取“=”,
所以函数u(t)在上单调递增,
故t>1时,,
又n<0,
∴,
所以。
核心考点
试题【已知函数f(x)=2x+alnx(a∈R), (1)讨论函数f(x)的单调性; (2)若函数f(x)有两个零点,求实数的取值范围; (3)若函数f(x)的最小值】;主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求常数a、b的值;
(2)求f(x)的单调区间。
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