题目

题型：河南省月考题难度：来源：

已知函数f（x）=ax³-ax²+x+1，其中a∈R，
（1）是否存在实数a，使得f（x）在x=处取极值？证明你的结论；
（2）若f（x）在[-1，]上是增函数，求实数a的取值范围。

答案

解：（Ⅰ）f′（x）=ax²-ax+1，
假设存在实数a，使f（x）在x=处取极值，
则f′（）=-+1=0，
∴a=4，
此时，f′（x）=，
当x＜时，f′（x）＞0；当＜x＜1时，f′（x）＞0，
∴x=不是f（x）的极值点，
故不存在实数a，使f（x）在x=处极值。
（Ⅱ）依题意知：当x∈[-1，]时，f′（x）=ax²-ax+1≥0恒成立，
（1）当a=0时，f′（x）=1＞0成立；
（2）当a＞0时，f′（x）=a（x-）²+1在[-1，]上递减，
则g（x）_min=g（）=1≥0，
∴0＜a≤4；
（3）当a＜0时，f′（x）=a（x-）²+1在[-1，]上递增，
则g（x）_min=g（-1）=2a+1≥0，
∴0＞a≥；
综上，≤a≤4为所求。