题目

题型：北京期末题难度：来源：

设函数．
（I）证明：0＜a＜1是函数f（x）在区间（1，2）上递增的充分而不必要的条件；
（II）若x∈（﹣∞，0）时，满足f（x）＜2a²﹣6恒成立，求实数a的取值范围．

答案

解：（I）对函数）求导，得 ，
先证充分性：若0＜a＜1，∵1＜x＜2，∴x﹣a＞0，x+a＞0，
∴f"（x）＞0
∴函数f（x）在区间（1，2）上递增．
再说明非必要性：∵f（x）在区间（1，2）上递增，
∴f"（x）≥0对1＜x＜2恒成立
即对1＜x＜2恒成立，x²﹣a²≥0对1＜x＜2恒成立，
即a²≤x²对1＜x＜2恒成立，
∵1＜x＜2，
∴1＜x²＜4，
∴a²≤1，即﹣1≤a≤1．即推不出0＜a＜1．
∴0＜a＜1是函数f（x）在区间（1，2）上递增的充分而不必要的条件
（II）由（I）知，
令f"（x）=0，得x₁=a，x₂=﹣a
①当a=0时，f（x）=x，x∈（﹣∞，0）时，f（x）＜﹣6不能恒成立，不符合题意．
②当a＞0时，函数y=f（x）在（﹣∞，﹣a）上递增，在（﹣a，0）上递减，
∴函数y=f（x）在（﹣∞，0）上的极大值为f（﹣a）
若x∈（﹣∞，0）时，f（x）＜2a²﹣6恒成立，
则需f（x）极大值=f（﹣a）＜2a²﹣6即﹣4a＜2a²﹣6，解得a＞1．
③当a＜0时，函数y=f（x）在（﹣∞，a）上递增，在（a，0）上递减，
∴函数y=f（x）在（﹣∞，0）上的极大值为f（a）
此时x∈（﹣∞，0），若满足f（x）＜2a²﹣6恒成立，
则需f（x）极大值=f（a）=0＜2a²﹣6
解得
故若x∈（﹣∞，0）时，满足f（x）＜2a²﹣6恒成立，
实数