题目

题型：山东省月考题难度：来源：

函数f（x）=x³﹣（a+1）x+a，g（x）=xlnx．
（Ⅰ）若y=f（x），y=g（x）在x=1处的切线相互垂直，求这两个切线方程．
（Ⅱ）若F（x）=f（x）﹣g（x）单调递增，求a的范围．

答案

解：（I）f"（x）=3x²﹣（a+1），g"（x）=lnx+1
∴f"（1）=2﹣a    
g"（1）=1
∵两曲线在x=1处的切线互相垂直
∴（2﹣a）×1=﹣1
∴a=3
∴f"（1）=﹣1     f（1）=0
∴y=f（x）在x=1处的切线方程为x+y﹣1=0，
同理，y=g（x）在x=1处的切线方程为x﹣y﹣1=0
（II）由F（x）=x³﹣（a+1）x+a﹣xlnx
得F"（x）=3x²﹣（a+1）﹣lnx﹣1=3x²﹣lnx﹣a﹣2
∵F（x）=f（x）﹣g（x）单调递增
∴F"（x）≥0恒成立 即a≤3x²﹣lnx﹣2
令h（x）=3x²﹣lnx﹣2
令h"（x）＞0得，
令h"（x）＜0得
∴
∴a的范围为（-∞，）。