题目

题型：月考题难度：来源：

已知函数f（x）=mx+（m，n∈Z），曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=3．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）设g（x）=aln（x﹣1）（a＞0），若函数F（x）=f（x）+g（x）与x轴有两个交点，求实数a的取值范围．

答案

解：（Ⅰ）求导函数，可得，
∵曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=3
∴f（2）=3，f′（2）=0
∴，
∴或，
由于m，n∈Z，
所以，则．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得F（x）=aln（x﹣1）+，定义域为（1，+∞），F′（x）=，
由于a＞0，令F′（x）=0，得
当x∈时，F′（x）＜0，知F（x）在x∈时单调递减，
同理，F（x）在x∈时单调递增
所以F（x）_min=F=a﹣alna
令a﹣alna＜0，即a＞e时，函数F（x）=0有两个实数根
所以a的取值范围是（a，+∞）