题目
题型:模拟题难度:来源:
(1)当a=0时,求f(x)的极值;
(2)设,在[1,+∞)上单调递增,求a的取值范围;
(3)当a≠0时,求f(x)的单调区间.
答案
当a=0时,f(x)=2lnx+,
∴f"(x)=﹣=,
由f"(x)=0得x=,
于是,f(x),f"(x)随x变化如下表:
故,f(x)极小值=f()=2﹣ln2,没有极大值.
(2)由题意,g(x)=(2﹣a)lnx+2ax,在[1,+∞)上单调递增,
∴g"(x)=+2a≥0在[1,+∞)上恒成立,设h(x)=2ax+2﹣a≥0在[1,+∞)上恒成立,
当a=0时,2≥0恒成立,符合题意.
当a>0时,h(x)在[1,+∞)上单调递增,h(x)的最小值为h(1)=2a+2﹣a≥0,
得a≥﹣2,所以a>0
当a<0时,h(x)在[1,+∞)上单调递减,不合题意
所以a≥0
(3)由题意得,f"(x)=,
令f"(x)=0得x1=﹣,x2=,
若a>0,由f"(x)≤0得x∈(0,];
由f"(x)≥0得x∈[,+∞);
若a<0,①当a<﹣2时,0<﹣<,x∈(0,﹣]或x∈[,+∞),f"(x)≤0;x∈[﹣,],f"(x)≥0,
②当a=﹣2时,f"(x)≤0;
③当﹣2<a<0时,﹣>,x∈(0,]或x∈[﹣,+∞),f"(x)≤0;x∈[,﹣],f"(x)≥0.
综上,当a>0时,函数的单调递减区间为(0,],单调递增区间为[,+∞);
当a<﹣2时,函数的单调递减区间为(0,﹣],[,+∞),单调递增区间为[﹣,];
当a=﹣2时,函数的单调递减区间为(0,+∞);
当﹣2<a<0时,函数的单调递减区间为(0,],[﹣,+∞),单调递增区间为[,﹣].
核心考点
试题【设函数.(1)当a=0时,求f(x)的极值;(2)设,在[1,+∞)上单调递增,求a的取值范围;(3)当a≠0时,求f(x)的单调区间.】;主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
(Ⅰ)求函数y=f(x)的解析式;
(Ⅱ)求函数y=f(x)的单调区间.
(Ⅰ)求f(x)的解析式;
(Ⅱ)设函数g(x)=[f(x)﹣m]ex,若函数g(x)在x∈[﹣3,2]上单调,求实数m的取值范围.
(1)若函数f(x)在其定域义内为单调函数,求实数a的取值范围;
(2)若函数f(x)的图象在x=1处的切线的斜率为0,且.
①若a1≥3,求证:an≥n+2;
②若a1=4,试比较与的大小,并说明你的理由.
(I)求函数f(x)的单调递减区间;
(Ⅱ)若在区间上至少存在一个实数x0,使f(x0)>g(x0)成立,试求正实数a的取值范围。
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