题目
题型:河南省期末题难度:来源:
①f(x)在(0,1)上是减函数,在(1,+∞)上是增函数;
②f′(x)是偶函数;
③f(x)在x=0处的切线与直线y=x+2垂直.
(Ⅰ)求函数y=f(x)的解析式;
(Ⅱ)设,若存在x∈[1,e],使g(x)<f′(x),求实数m的取值范围.
答案
∵f(x)在(0,1)上是减函数,在(1,+∞)上是增函数,
∴f′(1)=3a+2b+c=0①
由f′(x)是偶函数得:b=0②
又f(x)在x=0处的切线与直线y=x+2垂直,f"(0)=c=﹣1③
由①②③得: ,即
(Ⅱ)由已知得:存在x∈[1,e],使
即存在x∈[1,e],使m>xlnx﹣x3+x
设 ,则M"(x)=lnx﹣3x2+2
设H(x)=M"(x)=lnx﹣3x2+2,则
∵x∈[1,e],∴H"(x)<0,即H(x)在[1,e]递减
于是,H(x)≤H(1),即H(x)≤﹣1<0,即M"(x)<0
∴M(x)在[1,e]上递减,
∴M(x)≥M(e)=2e﹣e3
于是有m>2e﹣e3为所求.
核心考点
试题【定义在R上的函数f(x)=ax3+bx2+cx+3同时满足以下条件:①f(x)在(0,1)上是减函数,在(1,+∞)上是增函数;②f′(x)是偶函数;③f(x)】;主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求函数y=xg(x)﹣2x的单调增区间.
(2)如果函数y=f(x)在[1,+∞)上是单调增函数,求a的取值范围;
(3)是否存在实数a>0,使得方程=f′(x)﹣(2a+1)在区间(,e)内有且只有两个不相等的实数根?若存在,请求出a的取值范围;若不存在,请说明理由.
(I)讨论函数f(x)的单调性;
(II)若函数y=f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线的倾斜角为45o,是否存在实数m使得对于任意的t∈[1,2],函数g(x)=x3+x2[]在区间(t,3)上总不是单调函数?若存在,求m的取值范围;否则,说明理由;
(Ⅲ)求证:(n≥2,n∈N*).
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