题目
题型:黑龙江省期末题难度:来源:
(1)求函数y=xg(x)﹣2x的单调增区间.
(2)如果函数y=f(x)在[1,+∞)上是单调增函数,求a的取值范围;
(3)是否存在实数a>0,使得方程=f′(x)﹣(2a+1)在区间(,e)内有且只有两个不相等的实数根?若存在,请求出a的取值范围;若不存在,请说明理由.
答案
∴函数y=xg(x)﹣2x的单调增区间为(e,+∞)
(2)当a=0时,f(x)=2x在[1,+∞)上是增函数,
当a>0时,y=f(x)的对称轴方程为x=﹣
由于y=f(x)在[1,+∞)上是增函数,
∴﹣ ≤1,解得a≤﹣2或a>0,
∴a>0
当a<0时,不符合题意,
综上,a的取值范围为a≥0
(3)方程 =f′(x)﹣(2a+1)
可化简为 =ax+2﹣(2a+1)即为方程ax2+(1﹣2a)x﹣lnx=0.
设H(x)=ax2+(1﹣2a)x﹣lnx,(x>0)
原方程在区间( ,e)内有且只有两个不相等的实数根,
即函数H(x)在区间( ,e)内有且只有两个零点.
H′(x)=2ax+(1﹣2a)﹣ = =
令H′(x)=0,因为a>0,解得x=1或x=﹣ (舍)
当x∈(0,1)时,H′(x)<0,H(x)是减函数;
当x∈(1,+∞)时,H′(x)>0,,H(x)是增函数.,
H(x)在( ,e)内有且只有两个不相等的零点,
只需 即1<a<
核心考点
试题【已知函数f(x)=ax2+2x,g(x)=lnx.(1)求函数y=xg(x)﹣2x的单调增区间.(2)如果函数y=f(x)在[1,+∞)上是单调增函数,求a的取】;主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
(I)讨论函数f(x)的单调性;
(II)若函数y=f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线的倾斜角为45o,是否存在实数m使得对于任意的t∈[1,2],函数g(x)=x3+x2[]在区间(t,3)上总不是单调函数?若存在,求m的取值范围;否则,说明理由;
(Ⅲ)求证:(n≥2,n∈N*).
(1)讨论函数的单调性;
(2)若函数有两个零点,求实数的取值范围;
(3)若函数的最小值为,m,n为定义域A中的任意两个值,求证:
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