解（Ⅰ）∵g（x）=ax²+bx-1，∴g"（x）=2ax+b
由图可知b=-1，∴g"（x）=2ax-1，
将x=

1

2

，y=0代入计算得a=1，
∴g（x）=x²-x-1．…3分
（Ⅱ）设T（x）=lnx-x+1（x＞0）．
∴T′(x)=

1

x

-1=

1-x

x

，∴当0＜x＜1时，T"（x）＞0，T（x）单调递增，当x＞1时，T"（x）＜0，T（x）单调递减．
∴T（x）_max=T（x）_极大=T（1）=0，即对一切x＞0，都有lnx-x+1≤0，
∴xlnx-x²+x≤0，即xlnx-x²+x+1≤1．
由（Ⅰ）得f（x）-g（x）=xlnx-x²+x+1，所以对一切x＞0都有f（x）-g（x）≤1．
所以实数求d的取值范围是[1，+∞）．…8分
（Ⅲ）h（x）=xlnx-x²+x+1，h"（x）=lnx-2x+2（x＞0）．
设t（x）=lnx-2x+2（x＞0），则t′(x)=-

2(x- 1 2 )

2x2

，所以当0＜x＜

1

2

时，t"（x）＞0，h"（x）=t（x）是增函数，当x＞

1

2

时，t"（x）＜0，h"（x）=t（x）是减函数，所以h′(x)max=h′(

1

2

)=1-ln2＞0．
又h"（e^-2）=-2e^-2＜0，所以在区间(e-2，

1

2

)上存在唯一的实数x₀，使得h"（x₀）=t"（1）=0（e是自然对数的底数），
所以当x变化时，h"（x）、h（x）的变化情况如下表：

x	（0，x0）	x0	（x0，1）	1	（1，+∞）
h"（x）	-	0	+	0	-
h（x）	↘	极小值	↗	极大值1	↘
已知函数f（x）=x3+ax2+x+2（a＞0）的极大值点和极小值点都在区间（-1，1）内，则实数a的取值范围是（　　） A．（0，2] B．（0，2） C．[ 3 ，2） D．( 3  ， 2)
已知函数f（x）=ax2+2ln（x+1），其中a为实数． （1）若f（x）在x=1处有极值，求a的值； （2）若f（x）在[2，3]上是增函数，求a的取值范围．
设a＞0，函数f(x)= x a2+x2 的导函数为f"（x）． （Ⅰ）求f"（0），f"（1）的值，并比较它们的大小； （Ⅱ）求函数f（x）的极值．
设函数f（x）=x2-aln（x+1），其中a∈R． （Ⅰ）若f"（1）=0，求a的值； （Ⅱ）当a＜0时，讨论函数f（x）在其定义域上的单调性； （Ⅲ）证明：对任意的正整数n，不等式ln(n+1)＞ n k=1 ( 1 k2 - 1 k3 )都成立．
设f（x），g（x）是定义域为R的恒大于零的可导函数，且f′（x）g（x）-f（x）g′（x）＜0，则当a＜x＜b时，下列结论中正确的是（　　） A．f（x）g（x）＞f（b）g（b） B．f（x）g（a）＞f（a）g（x） C．f（x）g（b）＞f（b）g（x） D．f（x）g（x）＞f（a）g（a）