由于函数f(x)=

x

a2+x2

（a＞0）的导函数为f"（x），
则f′(x)=

(a2+x2)-x×2x

(a2+x2)2

=

a2-x2

(a2+x2)2

=-

(x+a)(x-a)

(a2+x2)2

（1）f"（0）=

1

a2

，f"（1）=

a2-1

(a2+1)2

由于a＞0，a²＜a²+1，则

1

a2

＞

1

a2+1

=

a2+1

(a2+1)2

＞

a2-1

(a2+1)2

，故f"（0）＞f"（1）
（2）令f′（x）=0，则x=-a或x=a
当x变化时f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x	（-∞，-a）	-a	（-a，a）	a	（a，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↘	极小值	↗	极大值	↘
设函数f（x）=x2-aln（x+1），其中a∈R． （Ⅰ）若f"（1）=0，求a的值； （Ⅱ）当a＜0时，讨论函数f（x）在其定义域上的单调性； （Ⅲ）证明：对任意的正整数n，不等式ln(n+1)＞ n k=1 ( 1 k2 - 1 k3 )都成立．
设f（x），g（x）是定义域为R的恒大于零的可导函数，且f′（x）g（x）-f（x）g′（x）＜0，则当a＜x＜b时，下列结论中正确的是（　　） A．f（x）g（x）＞f（b）g（b） B．f（x）g（a）＞f（a）g（x） C．f（x）g（b）＞f（b）g（x） D．f（x）g（x）＞f（a）g（a）
已知y= 1 3 x3+2x2+a2x+5是单调函数，则实数a的取值范围是（　　） A．（-∞，-1]∪[1，+∞） B．（-∞，-2]∪[2，+∞） C．（-∞，-3]∪[3，+∞） D．（-∞，-4]∪[4，+∞）
已知函数f（x）=mx2+lnx-2x在定义域内是增函数，则实数m的取值范围为（　　） A．m＞ 1 2 B．m＜1 C．m≤ 1 2 D．m≥ 1 2
已知：三次函数f（x）=x3+ax2+bx+c，在（-∞，-1），（2，+∞）上单调增，在（-1，2）上单调减，当且仅当x＞4时， f（x）＞x2-4x+5． （1）求函数f （x）的解析式； （2）若函数h(x)= f′(x) 3(x-2) -(m+1)ln(x+m)，求h（x）的单调区间．