题目

题型：大连一模难度：来源：

已知m∈R，函数f（x）=mx²-2e^x．
（Ⅰ）当m=2时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若f（x）有两个极值点，求m的取值范围．

答案

（Ⅰ）m=2时，f（x）=2x²-2e^x，f"（x）=4x-2e^x=2（2x-e^x）．
令g（x）=2x-e^x，g"（x）=2-e^x，（2分）
当x∈（-∞，ln2）时，g"（x）＞0，x∈（ln2，+∞）时，g"（x）＜0
∴g（x）≤g（ln2）=2ln2-2＜0．
∴f"（x）＜0．∴f（x）在（-∞，+∞）上是单调递减函数．（4分）
（Ⅱ）①若f（x）有两个极值点a，b（a＜b），
则a，b是方程f"（x）=2mx-2e^x=0的两不等实根．
∵x=0显然不是方程的根，∴m=

ex

x

有两不等实根．（6分）
令h(x)=

ex

x

，则h′(x)=

ex(x-1)

x2

当x∈（-∞，0）时，h"（x）＜0，h（x）单调递减，h（x）∈（-∞，0），
当x∈（0，1）时，h"（x）＜0，h（x）单调递减，
x∈（1，+∞）时，h"（x）＞0，h（x）单调递增，
要使m=

ex

x

有两不等实根，应满足m＞h（1）=e，
∴m的取值范围是（e，+∞）…（12分）